I FRATTALI… QUESTI SCONOSCIUTI

di Andrea Fantini

Prima dell’avvento dei computer parlare comunemente di frattali non sarebbe stato possibile: la rappresentazione grafica di alcuni di loro sarebbe stata pressoché impossibile da costruire manualmente. Ma adesso che abbiamo a disposizione notevoli capacità di calcolo a portata di dito, possiamo sbizzarrirci ed ammirare queste meraviglie.
Volendo intenzionalmente evitare di addentrarmi eccessivamente in dettagli tecnici, fornirò una loro descrizione superficiale che, in quanto tale, qualche purista della matematica potrà sicuramente contestarmi. Chiedo scusa fin da adesso!

Mediante un computer possiamo pensare di associare ogni punto dello schermo ad un punto del piano complesso (una sorta di piano cartesiano, ma con peculiarità specifiche) e colorare questo punto con colori diversi in funzione della velocità con cui una determinata equazione ricorsiva a variabili complesse diverge.
Se chi legge non è svenuto, lo invito a dare un’occhiata a questa immagine dell’insieme di Mandelbrot – da Benoît Mandelbrot (Varsavia, 20 novembre 1924 – Cambridge, 14 ottobre 2010) – che ha rappresentato il mio “battesimo” coi frattali:

Rappresentazione dell'insieme di Mandelbrot (da Wikipedia)

Quando la vidi rimasi affascinato in primis dalla sua bellezza estetica, ma successivamente da alcune caratteristiche principali dei frattali: sono insiemi autosimili, il che significa che ogni loro sottoparte è esattamente uguale all’insieme padre; quindi è possibile ingrandire a piacimento l’immagine ottenendo sempre insiemi morfologicamente simili a questo; altra conseguenza diretta decisamente d’impatto (almeno per me lo è stata) è che presa qualsiasi coppia di punti, la distanza fra loro è infinita proprio in virtù delle precedenti caratteristiche.
Ma ben al di là di queste sterili e soggettive considerazioni, rimasi sconcertato dall’aderenza di alcuni insiemi frattali alla realtà che ci circonda, come dimostra l’immagine qui sotto a destra (da webfract.it), chiamata “felce di Barnsley”.

Analogamente a quanto fatto in modo grafico possiamo procedere anche con la musica e, per i più curiosi, posso dire che esistono anche esempi di musica frattale che, sicuramente, risultano di effetto molto meno affascinante di questi piccoli assaggi!

Alcuni link utili per chi volesse approfondire questi argomenti sono:
- http://www.lorenzoroi.net/frattali/ArticoloFrattali.html
- http://www.webfract.it/FRATTALI/felce.htm
- http://www.miorelli.net/frattali/matematica.html